Обзор линейной алгебры с высоты птичьего полета основы

Обзор линейной алгебры

Мы думаем в терминах базиса, мы пишем в терминах базиса, но когда дела идут кувырком, мы закрываем дверь в офис и рассчитываем с матрицами с яростью.

Вид сверху на поле. Изображение создано с помощью midjourney

Линейная алгебра – это фундаментальная дисциплина, лежащая в основе всего, что можно сделать с помощью математики. От физики до машинного обучения, теории вероятностей (например, цепей Маркова), называйте это. Неважно, что вы делаете, линейная алгебра всегда таится под покровом, готовая наброситься на вас, как только дела станут многомерными. По моему опыту (и я слышал это от других), это было источником большого шока между школой и университетом. В школе (в Индии) я был знаком с очень базовой линейной алгеброй (в основном определители и умножение матриц). Затем на уровне инженерного образования на университетском уровне каждый предмет вдруг начинает предполагать владение такими понятиями, как собственные значения, якобианы и т. д., как будто вы должны родиться с такими знаниями.

Этот блог предназначен для предоставления общего представления о концепциях и их очевидных применениях, которые существуют и важны для знания в этой дисциплине. Так что вы по крайней мере знаете, чего не знаете (если вообще что-то). Это также отговорка для сбора ресурсов и ссылок, чтобы люди могли углубиться в кроличью нору.

I) Векторные пространства

Как уже упоминалось в предыдущем разделе, линейная алгебра неизбежно возникает, когда дела становятся многомерными. Мы начинаем с скаляра, который просто является некоторым числом. Для этой статьи мы будем рассматривать вещественные и комплексные числа в качестве таких скаляров. В общем случае скаляром может быть любой объект, где определены основные операции сложения, вычитания, умножения и деления (абстрагированные как “поле”). Теперь нам нужна структура, чтобы описать совокупности таких чисел (добавить размерности). Эти совокупности называются “векторными пространствами”. Мы будем рассматривать случаи, когда элементы векторного пространства являются либо вещественными, либо комплексными числами (первое является частным случаем второго). Полученные векторные пространства называются соответственно “вещественными векторными пространствами” и “комплексными векторными пространствами”.

Идеи в линейной алгебре применимы к этим “векторным пространствам”. Самый распространенный пример – ваш пол, стол или экран компьютера, на котором вы находитесь…