Градиентный спуск Руководство по оптимизации с математикой для горных туристов

Оптимизация при горных походах градиентный спуск и математическое руководство

Аналогия горного треккера:

Представьте, что вы – горный треккер, стоящий где-то на склонах огромного горного хребта. Ваша цель – достичь самой низкой точки в долине, но есть один нюанс: вы носите повязку на глазах. Без возможности видеть всю местность, как бы вы нашли путь книзу?

Инстинктивно вы можете ощупывать землю под ногами, чтобы определить, в каком направлении находится спуск. Затем вы сделаете шаг в этом направлении – самый крутой спуск. Повторяя этот процесс, постепенно приближаетесь к самой низкой точке долины.

• M42 представляет Med42 открытую клиническую крупномасштабную языковую модель (ЛМ), расширяющую доступ к медицинским знаниям.
• Можем ли мы преодолеть быстроту ломкости в больших языковых моделях? Компания Google AI представляет батч-калибровку для улучшения производительности
• Оптимизируйте профили домашних животных для приложения Petfinder от Purina, используя настраиваемые метки Amazon Rekognition и AWS Step Functions.

Перенос аналогии на градиентный спуск

В мире машинного обучения путешествие этого треккера отражает алгоритм градиентного спуска. Вот как:

1) Местность: Гористая местность представляет собой нашу функцию стоимости (или потери), J(θ). Эта функция измеряет ошибку или расхождение между предсказаниями нашей модели и фактическими данными. Математически она может быть представлена как: , где m – количество точек данных, hθ(x) – предсказание нашей модели, а y – фактическое значение.

2) Позиция треккера: Ваше текущее положение на горе соответствует текущим значениям параметров модели, θ. По мере движения эти значения изменяются, изменяя предсказания модели.

3) Ощупывая землю: Как вы ощущаете самый крутой спуск своими ногами, в градиентном спуске мы вычисляем градиент, ∇J(θ). Этот градиент показывает направление самого крутого возрастания нашей функции стоимости. Чтобы минимизировать стоимость, мы движемся в противоположном направлении. Градиент вычисляется по формуле: , где m – количество примеров обучения.

пример обучения.

пример обучения.

4) Шаги: Размер шагов, которые вы делаете, аналогичен скорости обучения в градиентном спуске, обозначаемой как ?. Большой шаг может помочь вам быстрее спуститься, но существует риск перелететь через дно долины. Меньший шаг более осторожен, но может занять больше времени для достижения минимума. Правило обновления:

  

5) Достигая дна: Итеративный процесс продолжается, пока вы не достигнете точки, где не ощущаете значительного спуска ни в одном направлении. В градиентном спуске это происходит, когда изменение функции стоимости становится незначительным, указывая на то, что алгоритм нашел (надеюсь) минимум.

В заключение

Градиентный спуск – систематический и итеративный процесс, похожий на нашего треккера с повязкой на глазах, пытающегося найти самую низкую точку долины. Комбинируя интуицию с математическим строгим подходом, мы можем лучше понять, как модели машинного обучения учатся, настраивают свои параметры и улучшают свои предсказания.

Пакетный градиентный спуск

Пакетный градиентный спуск вычисляет градиент, используя весь набор данных. Этот метод обеспечивает стабильную сходимость и последовательный градиент ошибки, но может быть вычислительно сложным и медленным для больших наборов данных.

Cтохастический градиентный спуск (SGD)

SGD оценивает градиент, используя одну случайно выбранную точку данных. В то время, как это может быть быстрее и способно покинуть локальные минимумы, у него более хаотичный паттерн сходимости из-за своей врожденной случайности, что потенциально может привести к осцилляциям в функции стоимости.

 

Метод мини-пакетного градиентного спуска

 

Метод мини-пакетного градиентного спуска находит компромисс между двумя вышеупомянутыми методами. Он вычисляет градиент, используя подмножество (или “мини-пакет”) данных. Этот метод ускоряет сходимость, используя вычислительные преимущества операций с матрицами и предлагает компромисс между стабильностью градиентного спуска на всей выборке и скоростью метода SGD.

 

Проблемы и решения

 

Локальные минимумы

 

Градиентный спуск иногда может сходиться к локальному минимуму, который не является оптимальным решением для всей функции. Это особенно проблематично в сложных пространствах с несколькими долинами. Чтобы преодолеть это, включение момента помогает алгоритму пройти через долины, не застревая. Кроме того, современные алгоритмы оптимизации, такие как Adam, объединяют преимущества момента и адаптивных скоростей обучения, чтобы обеспечить более надежную сходимость к глобальным минимумам.

 

Исчезающие и взрывающиеся градиенты

 

В глубоких нейронных сетях градиенты, обратно распространяемые, могут сходиться к нулю (исчезают) или экспоненциально расти (взрываются). Исчезающие градиенты замедляют обучение, делая его сложным для сети, в то время как взрывающиеся градиенты могут привести к расхождению модели. Для смягчения этих проблем, обрезка градиентов устанавливает пороговое значение, чтобы предотвратить слишком большие значения градиентов. С другой стороны, методы нормализации инициализации, такие как He или Xavier инициализация, гарантируют, что веса установлены на оптимальные значения в начале, уменьшая риск возникновения этих проблем.

 

Пример кода для алгоритма градиентного спуска

 

import numpy as npdef gradient_descent(X, y, learning_rate=0.01, num_iterations=1000):    m, n = X.shape    theta = np.zeros(n)  # Инициализация весов/параметров    cost_history = []  # Хранение значений функции стоимости на каждой итерации    for _ in range(num_iterations):        predictions = X.dot(theta)        errors = predictions - y        gradient = (1/m) * X.T.dot(errors)        theta -= learning_rate * gradient        # Вычисление и сохранение значения функции стоимости для текущей итерации        cost = (1/(2*m)) * np.sum(errors**2)        cost_history.append(cost)    return theta, cost_history# Пример использования:# Предположим, что X - это матрица признаков с m образцами и n признаками# а y - это целевой вектор с m образцами.# Примечание: Если вы хотите включить коэффициент смещения (столбец единиц) в модель, нужно добавить его в матрицу X.# Примерные данныеX = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4], [1, 5]])y = np.array([2, 4, 5, 4, 5])theta, cost_history = gradient_descent(X, y)print("Оптимальные параметры:", theta)print("История значения функции стоимости:", cost_history)

 

Этот код предоставляет базовый алгоритм градиентного спуска для линейной регрессии. Функция gradient_descent принимает матрицу признаков X, целевой вектор y, скорость обучения и количество итераций. Она возвращает оптимизированные параметры (theta) и историю функции стоимости на каждой итерации.

  

На левом графике показано уменьшение значения функции стоимости на каждой итерации.

На правом графике показаны точки данных и полученная линия наилучшей посдылки, полученная с помощью градиентного спуска.

  

Иллюстрация трехмерного графика функции и пути, пройденного градиентным спуском красным цветом. Градиентный спуск начинается с случайной точки и движется в сторону минимума функции.

Приложения

Прогнозирование цен на акции

Финансовые аналитики используют градиентный спуск в сочетании с алгоритмами, такими как линейная регрессия, чтобы прогнозировать будущие цены на акции на основе исторических данных. Минимизируя ошибку между прогнозируемыми и фактическими ценами на акции, они могут уточнить свои модели и делать более точные прогнозы.

Распознавание изображений

Модели глубокого обучения, особенно сверточные нейронные сети (CNN), используют градиентный спуск для оптимизации весов при обучении на огромных наборах данных изображений. Например, платформы, такие как Facebook, используют такие модели для автоматической разметки лиц на фотографиях, распознавая их особенности. Оптимизация этих моделей обеспечивает точное и эффективное распознавание лиц.

Анализ эмоциональной окраски

Компании используют градиентный спуск для обучения моделей, которые анализируют отзывы клиентов, отзывы или упоминания в социальных сетях, чтобы определить общественное мнение о своей продукции или услугах. Минимизируя разницу между прогнозируемыми и фактическими эмоциональными окрасками, эти модели могут точно классифицировать отзывы как положительные, отрицательные или нейтральные, помогая компаниям оценивать удовлетворенность клиентов и соответствующим образом адаптировать свои стратегии.

Arun – опытный старший специалист по науке о данных с опытом работы более 8 лет в использовании данных для создания эффективных бизнес-решений. Он великолепно владеет расширенными аналитическими методами, прогнозным моделированием и машинным обучением, чтобы превратить сложные данные в практические инсайты и стратегические истории. Имея степень PGP в машинном обучении и искусственном интеллекте из известного учебного заведения, экспертиза Аруна охватывает широкий спектр технических и стратегических областей, что делает его ценным активом в любом научно обоснованном предприятии.