Разворот времени модели диффузии и стохастические дифференциальные уравнения

Эволюция модных трендов и стохастические дифференциальные уравнения

В начале был хаос…

Изображение, созданное с помощью искусственного интеллекта с Freepik

Модели диффузии позволяют нам “переворачивать время”. Да, время. Но я опережаю события… В двух предыдущих статьях мы обсудили две разные формулировки процесса диффузии, Dиффузионные модели с устранением шума (DDPMs) и Сопоставление с помощью Марковских процессов и ланжевинских динамик (СМЛД). В этой статье мы объединим эти две формулировки и узнаем, как можно описать процесс диффузии и его обращение с помощью Стохастических Дифференциальных Уравнений (СДУ).

Начнем наше путешествие сквозь время!

Математическое основание

Прежде чем мы погрузимся в модели диффузии, давайте минутку посвятим основным концепциям стохастических дифференциальных уравнений.

Определенные дифференциальные уравнения

Как вы, наверняка, знаете, дифференциальное уравнение – это уравнение, связывающее одну или несколько функций с их производными. В физике и математике мы используем дифференциальные уравнения для моделирования динамического поведения различных систем.

В общем виде дифференциальное уравнение имеет следующую форму:

Можно также выразить это уравнение в терминах бесконечно малых дифференциалов:

Интуитивно это означает, что очень маленькое — бесконечно малое — изменение значения функции x = x(t) равно очень малому изменению времени, масштабированному коэффициентом магнитуды f = f(t, x(t)).

Стоит отметить, что указанная выше формулировка описывает определенное дифференциальное уравнение. Это означает, что при одинаковых начальных условиях мы получаем единственное решение для системы, то есть нет случайности.

Стохастические дифференциальные уравнения

Любой, кто изучал курс вероятности, знает, что большинство времени реальный мир слишком сложен, чтобы точно описать его, используя определенные дифференциальные уравнения. В таких случаях мы используем понятия из теории вероятностей, такие как стохастические процессы, в попытке моделирования явлений реального мира.

Школьный пример такой сложной системы – это атмодвижение Броуновской частицы, то есть движение частиц…